이차 형식

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1. 개요

이차 형식은 가환환 K 위의 가군 V에서 K로 가는 함수로, 특정 조건을 만족한다. 이차 형식은 대수기하학, 모듈러 형식, 격자 이론 등 다양한 수학 분야와 밀접한 관련을 가지며, 수론과 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 특히 정수 계수 이차 형식은 격자 이론과 코드 이론, 암호학 등에 응용된다. 이차 형식은 복소수, 실수, 국소체, 대역체, 유한체, 정수환 등 다양한 체와 환 위에서 분류되며, 실베스터의 관성 법칙, 하세-민코프스키 정리, 비트 소거 정리 등이 이차 형식 연구의 중요한 도구로 사용된다. 역사적으로 이차 형식은 고대 수학부터 연구되었으며, 가우스, 실베스터, 하세, 비트 등 많은 수학자들의 연구를 통해 발전해왔다.

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이차 형식
개요
이차 형식은 다항식의 일종이다.
변수	변수가 여러 개일 수 있음
차수	각 항의 차수가 2인 다항식
형태	각 항은 변수의 곱으로 이루어짐 각 변수는 2번 이하로 곱해짐
정의
정의	K가 가환환일 때, K 위의 이차 형식은 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V에서 K로 가는 함수 q : V → K임 q는 다음 두 조건을 만족시켜야 함 2. 함수 B : V × V → K, B(x, y) = (q(x + y) - q(x) - q(y)) / 2는 쌍선형 형식이어야 함
행렬 표현
행렬 표현	체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위의 이차 형식 q에 대해, V의 기저를 고정하면 q는 대칭 행렬 A를 사용하여 q(x) = xᵀAx로 표현할 수 있음 여기서 x는 V의 원소를 기저에 대한 좌표 벡터로 나타낸 것임
예시
2차원 유클리드 공간	2차원 유클리드 공간 R² 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴임: q(x, y) = ax² + bxy + cy² 여기서 a, b, c는 상수임
응용
이차 곡면	이차 형식은 이차 곡면을 정의하는 데 사용됨
리 이론	이차 형식은 리 이론에서 중요한 역할을 함

2. 정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 '''이차 형식''' $Q$ 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $Q\colon V\to K$ 이다.^[10]^[11]

(동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $Q(av)=a^2Q(v)$
(쌍선형성) 함수 $B\colon V\times V\to K$ , $(u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$ 를 정의하면, $B$ 는 $V$ 위의 쌍선형 형식을 이룬다.
* 임의의 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0$
* 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$ 에 대하여, $Q(au+bv)-a^2Q(u)-b^2Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0$

이 경우,

B

를

Q

의 '''연관 쌍선형 형식'''(associated bilinear form^영어)이라고 한다.^[11] 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이다.

같은 가환환

K

위에 두 가군

V

,

V'

이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식

Q

,

Q'

이 존재한다고 할 때,

Q

와

Q'

사이의 '''동치'''(equivalence^영어)

i

는 다음 조건을 만족시키는 함수

i\colon V\to V'

이다.

$i\colon V\to V'$ 는 가군의 동형이다.
$Q'\circ i=Q$ 이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 '''동치'''(equivalent^영어)라고 한다.

이차 형식은 n개의 변수에 대한 동차 이차 다항식이다. 변수가 하나, 둘, 셋인 경우 각각 '''일변수''', '''이변수''', '''삼변수'''라 부르며 다음과 같은 명시적 형태를 갖는다.

\begin{align}q(x) &= ax^2&&\textrm{(일변수)} \\q(x,y) &= ax^2 + bxy + cy^2&&\textrm{(이변수)} \\q(x,y,z) &= ax^2 + bxy + cy^2 + dyz + ez^2 + fxz&&\textrm{(삼변수)}\end{align}

여기서 a, ..., f는 '''계수'''이다.^[1]

선형대수학, 해석기하학 및 이차 형식의 대부분의 응용에서 계수는 실수 또는 복소수이다. 이차 형식의 대수적 이론에서 계수는 특정 체의 원소이다. 이차 형식의 산술적 이론에서 계수는 고정된 가환환(자주 정수 또는 -adic 정수)에 속한다.^[2]

기하학적 의미를 지닌 밀접하게 관련된 개념은 '''이차 공간'''으로, 체 위의 벡터 공간 와 ''V''의 이차 형식의 쌍이다.

2. 1. 비퇴화 이차 형식

가환환

K

위의 가군

V

위의 이차 형식

Q

의 연관 쌍선형 형식

B(u,v) = Q(u+v)-Q(u)-Q(v)

가 비퇴화 쌍선형 형식이면,

Q

를 '''비퇴화 이차 형식'''이라고 한다.^[12] 즉,

B

로부터 정의되는 사상

V\to\hom_K(V,K)

,

u\mapsto B(u,-)

이 가군의 동형 사상이다.

K

가 체이고,

V

가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

:

\operatorname{rad}Q\subseteq\operatorname{rad}B

의 여차원을 생각할 수 있다. 만약

K

의 표수가 2가 아니라면, 항상

\operatorname{rad}Q=\operatorname{rad}B

이다. 만약

K

가 표수 2의 완전체라면, 여차원은 0 또는 1이다. 만약

\operatorname{char}K=2

이며, 완전체가 아니라면, 여차원은 2 이상일 수 있다.

만약

Q

의 연관 쌍선형 형식

B

가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉,

B

의 근기가

\{0\}

이라면),

Q

를 '''비퇴화 이차 형식'''이라고 한다.^[11]

2. 2. 정부호성

순서체

K

위의 벡터 공간

V

위의 이차 형식

Q

에 대하여, 다음과 같은 용어들이 정의된다.^[10]^[11]

'''양의 정부호 이차 형식'''(陽의定符號二次形式, positive-definite quadratic form^영어): 모든 $v\in V\setminus\{0\}$ 에 대하여, $Q(v)>0$ 이다.
'''음의 정부호 이차 형식'''(陰의定符號二次形式, negative-definite quadratic form^영어): 모든 $v\in V\setminus\{0\}$ 에 대하여, $Q(v)<0$ 이다.
'''양의 준정부호 이차 형식'''(陽의準定符號二次形式, positive-semidefinite quadratic form^영어): 모든 $v\in V$ 에 대하여, $Q(v)\ge0$ 이다.
'''음의 준정부호 이차 형식'''(陰의準定符號二次形式, negative-semidefinite quadratic form^영어): 모든 $v\in V$ 에 대하여, $Q(v)\le0$ 이다.
'''부정부호 이차 형식'''(不定符號二次形式, indefinite quadratic form^영어): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

2. 3. 이차 공간

가환환

R

위의 '''이차 공간'''

(M,Q)

은

R

위의 가군

M

과 그 위의 이차 형식

Q\colon M\to R

의 순서쌍이다.

R

위의 두 이차 공간

(M,Q)

,

(M',Q')

사이의 '''사상'''은 다음 조건을 만족시키는 함수

f\colon M\to M'

이다.

$f\colon M\to M'$ 은 $R$ -가군의 가군 준동형이다.
$Q'\circ f=Q$ 이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 '''매장'''이라고 한다. 이차 공간의 매장

\iota\colon(M,Q)\to(M',Q')

이 주어졌을 때, 만약

\operatorname{coker}\iota=M'/\iota(M)

이 자유 가군이라면,

\iota

를 '''원시 매장'''이라고 한다.

3. 성질

vector^영어 의 두 원소 가 (이중선형 형식 에 관하여) 서로 직교한다는 것은 일 때를 말한다. 이중선형 형식 의 핵은 의 각 원소에 대해 직교하는 원소들로 구성된다. 이차 형식 가 '''정칙''' 또는 '''비특이'''(non-singular^영어)인 것은, 그에 수반하는 이중선형 형식의 핵이 0과 같을 때를 말한다. 의 0이 아닌 원소 에 대하여 이 되는 것이 존재할 때, 이차 형식 는 등방적( isotropic^영어)이라고 하고, 그렇지 않으면 '''비등방적'''(anisotropic^영어)이라고 한다. 이 용어는 이차 공간의 벡터나 부분 공간에도 사용된다. 이차 공간 의 부분 공간 에 대해, 의 로의 제한이 항등적으로 이 될 때, 는 '''완전 특이'''(totally singular^영어)라고 한다.

정칙 이차 형식 의 직교군이란, 의 선형 자기 동형으로 를 보존하는 것 전체로 이루어진 군(즉, 이차 공간 에서 그 자체로의 등거리 사상 전체가 이루는 군)을 말한다.

3. 1. 비트 소거 정리

임의의 표수의 체 K 위의 이차 공간에 대해, 비트 소거 정리가 성립한다.

'''비트 소거 정리'''(Witt cancellation theorem^영어)는 다음과 같다.^[1] 임의의 표수의 체

K

위의 이차 공간

(V_1, Q_1)

,

(V_2, Q_2)

,

(V_3, Q_3)

이 주어졌을 때, 만약

(V_1, Q_1) \oplus (V_3, Q_3) \cong (V_2, Q_2) \oplus (V_3, Q_3)

이면,

(V_1, Q_1) \cong (V_2, Q_2)

이다.

3. 2. 쌍선형 형식과의 관계

가환환

K

에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어,

K

가 표수가 2가 아닌 체일 경우),

K

-가군

V

위의 이차 형식은

V

위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식

Q

의 연관 쌍선형 형식

:

B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)

이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

:

Q(v)=\frac12B(v,v)

그러나 만약

K

에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.^[11]

보다 일반적으로, 임의의 가환환

K

위의 가군

V

및

\epsilon\in\{\pm1\}\subseteq K

에 대하여, 2차 순환군

\mathbb Z/2=\langle t|t^2=1\rangle

이 쌍선형 형식의 공간

\hom_K(V\otimes_KV;K)

위에 다음과 같이 작용한다.

:

(t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)

이에 대하여,

\hom_K(V\otimes_KV;K)

는 군환

\mathbb Z[\mathbb Z/2]

위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약

\epsilon=+1

이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

:

\operatorname H^0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)=\left(\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)^{\mathbb Z/2}=\left\{B\in\hom_K(V\otimes_KV;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad\forall u,v\in V\right\}

0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

:

\operatorname H_0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)=\left(\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)_{\mathbb Z/2}=\frac{\hom_K(V\otimes_KV;K)}{\{B-t\cdot B\colon B\in\hom_K(V\otimes_KV;K)\}}

만약

\epsilon=-1

일 경우, 이는

M

위의 이차 형식의 공간

\operatorname{QForms}(M;K)

과 다음과 같이 동형이다.

:

[B(-,-)]\mapsto \left(Q_B\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)

다시 말해, 다음과 같은

K

-가군의 완전열이 존재한다.

:

0\to \operatorname H^0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)\to \hom_K(V\otimes_KV;K)\xrightarrow{1-t}\hom_K(V\otimes_KV;K)\to \operatorname H_0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)\to 0

3. 3. 클리퍼드 대수와의 관계

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 Cliff(V,Q;K)를 정의할 수 있다. 이는 K-단위 결합 대수이다. 클리퍼드 대수는 표준적인 단사 K-선형 변환

:

\iota_0\colon K\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(V,Q;K)

:

\iota_1\colon V\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(V,Q;K)

를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 \operatorname{BW}(K)의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

3. 4. 대각화와 비트 분해 정리

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능하다. 이는 그람-슈미트 과정과 유사한 알고리즘을 통해 이루어진다. 구체적으로, 표수가 2가 아닌 체

K

위의 유한 차원 벡터 공간

V

위의 이차 형식

Q

에 대해,

Q(v) \ne 0

인

v \in V

를 선택하여

V

를

\operatorname{Span}\{v\}

와 그 직교 여공간으로 분해하고, 이 과정을 재귀적으로 반복한다.

'''비트 분해 정리'''에 따르면, 표수가 2가 아닌 체

K

위의 이차 공간

(V, Q)

는 다음과 같이 표준적으로 분해된다.^[13]

:

(V,Q)=(V_0,0)\oplus(V_1,Q_1)\oplus(V_2,Q_2)

여기서,

$(V_0, 0)$ 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
$(V_1, Q_1)$ 은 '''비등방성 이차 공간'''으로, $Q_1(v) = 0$ 인 벡터 $v \in V_1$ 은 $v = 0$ 뿐이다.
$(V_2, Q_2)$ 는 '''분해 이차 공간'''으로, $Q_2$ 는 비퇴화 이차 형식이며, $\dim_K V_2 = 2n$ 은 짝수이고, $Q_2|_W = 0$ 인 $n$ 차원 부분 공간 $W \subseteq V_2$ 가 존재한다.

(V_1, Q_1)

을

(V, Q)

의 '''핵심'''이라고 한다.

\dim_K(V_1 \oplus V_2)

를

Q

의 '''계수''',

(\dim_K V_2) / 2

를

Q

의 '''비트 지표'''라고 한다.^[11] 비트 정리에 따르면,

Q

가 비퇴화 이차 형식일 때,

Q|_W = 0

이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

4. 분류

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

p진수체를 비롯한 국소체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다.

'''하세-민코프스키 정리'''에 따르면, 대역체 $K$ 위의 두 이차 형식 $Q$ , $Q'$ 이 동치일 필요충분조건은 $K$ 의 완비화인 모든 국소체 $k$ 에 대하여 $Q_k$ 와 $Q'_k$ 가 서로 동치인 것이다. (단, $Q_k$ 는 $Q$ 를 $k\supset K$ 계수로 간주한 $k$ 위의 이차 형식이다.)

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb F_q$ 위의 벡터 공간 $\mathbb F_q^n$ 위에서, 이차 형식의 동치류는 총 $2n+1$ 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식은 두 개이다. $a\in\mathbb F_q$ 가 제곱수가 아닌 임의의 수일 때( $\nexists b\in\mathbb F_q\colon b^2=a$ , 이러한 수는 항상 존재한다), 모든 비퇴화 이차 형식(및 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

: $Q_1^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,1)$

: $Q_2^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,a)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

: $Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$

: $Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+ax_n^2$

$n$ 이 홀수라면, $Q_2^{(n)}$ 는 $\alpha Q_1^{(n)}$ 과 동치이며,^[11] 비트 지표는 $Q_1^{(n)}$ , $Q_2^{(n)}$ 둘 다 $(n-1)/2$ 이다.

$n$ 이 짝수라면, $Q_1^{(n)}$ 은 $\alpha Q_1^{(n)}$ 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.^[11]

$n\equiv2\pmod4$ 이며 $q\equiv3\pmod4$ 인 경우: $Q_1^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ , $Q_2^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2$ 이다.
$n\equiv0\pmod4$ 이거나 또는 $q\equiv1\pmod4$ 인 경우: $Q_1^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2$ , $Q_2^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ 이다.

이 경우, 비트 지표가

n/2

인 경우를 '''플러스형'''(plus-type^영어),

n/2-1

인 경우를 '''마이너스형'''(minus-type^영어)이라고 한다.^[11]

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

:

\operatorname{diag}(1,\dots,1,1,0,\dots,0)

:

\operatorname{diag}(1,\dots,1,a,0,\dots,0)

홀수 차수 유한체

\mathbb F_q

의 비트 환의 크기는 4이며,

q

에 따라 구체적으로 다음과 같다.^[13]

:

W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv3\pmod4$ 인 경우
$\mathbb Z/(4)$	0	1	2	3
$W(\mathbb F_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_1^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

$q\equiv1\pmod4$ 인 경우
$\mathbb F_2[x]/(x^2)$	0	1	x	1+x
$W(\mathbb F_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_2^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb F_q$ 위의 벡터 공간 $\mathbb F_q^n$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $\lceil(3n+1)/2\rceil$ 개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 $n$ 이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.^[11] $n$ 이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, $n$ 이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, $n$ 이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

: $\operatorname{diag}\left(1,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

: $Q(x)=x_1^2+x_2x_3+x_4x_5+\cdots+x_{n-1}x_n$

이 경우 $Q$ 의 연관 대칭 쌍선형 형식은

: $B=\operatorname{diag}\left(0,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right)$

이다. 즉, $\operatorname{rad}B=\operatorname{Span}_{\mathbb F_q}\{x_1\}$ 이다.

$a\in\mathbb F_q$ 가 $x^2+x+a=0$ 의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) $n$ 이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.^[11]

: $\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)$

: $\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)$

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

: $Q_+(x)=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{n-1}x_n$

: $Q_-(x)=ax_1^2+x_2^2+x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{n-1}x_n$

이 경우 $Q_+$ 를 '''플러스형'''(plus-type^영어), $Q_-$ 를 '''마이너스형'''(minus-type^영어)이라고 한다.^[11] $Q_+$ 의 비트 지표는 $n/2$ 이며, $Q_-$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ 이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 $\mathbb Z$ 이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식은 마르틴 아이클러가 스피너 종수를 사용하여 완전히 분류하였다.^[22] 정수 계수 정부호 형식은 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저, 한스폴커 니마이어가 개발한 접착법(gluing method^영어)을 사용하여 분류할 수 있다.^[22] 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.^[22]

정수 계수 이차 형식에는 동치보다 더 거친 '''종수'''(種數, genus^영어)라는 동치 관계가 존재한다. $\mathbb Z^n$ 위의 두 이차 형식 $Q$ , $Q'$ 가 다음 두 조건을 만족시키면 같은 '''종수'''에 속한다고 한다.

$Q$ 와 $Q'$ 는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
모든 소수 $p=2,3,5,\dots$ 에 대하여, p진 정수환 $\mathbb Z_p$ 를 정의한다면, $Q$ 와 $Q'$ 는 $\mathbb Z_p$ 계수 위에서 서로 동치이다.

이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다. 주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 '''스미스-민코프스키-지겔 질량 공식'''에 의하여 주어진다.

2가 아닌 표수를 갖는 체 위의 n개 변수에 대한 모든 이차 형식 q는 합동인 '''대각 형식'''

:

q(x)=a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2+ \cdots +a_n x_n^2.

과 동치이다. 이러한 대각 형식은 종종

\langle a_1,\dotsc,a_n\rangle

으로 표기된다. 따라서 동치 관계를 제외한 모든 이차 형식의 분류는 대각 형식의 분류로 귀착될 수 있다.

정수환 위의 이차 형식을 '''정수 이차 형식'''이라고 하며, 이에 대응하는 모듈을 '''이차 격자'''(때로는 단순히 격자)라고 한다. 이들은 수론과 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 정수 이차 형식은

x^2 + xy + y^2

과 같이 정수 계수를 갖는다. 즉, 특성 0을 갖는 체 (예:

\mathbb Q

또는

\mathbb R

) 위의 벡터 공간

V

의 격자

\Lambda

가 주어지면, 이차 형식

Q

가

\Lambda

에 대해 정수값을 갖는다면(즉,

x, y \in \Lambda

일 때

Q(x, y) \in \mathbb Z

이면), 이차 형식

Q

는

\Lambda

에 대해 정수형이다.

체 K 위의 n-원 이차 형식이란, K에 계수를 갖는 n-변수 동차 이차 다항식

:

q(x_1, \dotsc, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}{x_i}{x_j} \quad (a_{ij}\in K)

을 말한다. x를 성분이

x_1, \dots, x_n

로 주어지는 열벡터라 하고,

A = (a_{ij})

를 q의 계수를 성분으로 하는 K 위의 n-차 정방행렬이라 하면, 이차 형식 q는

:

q(x)={}^{t \!}xAx

와 같이 행렬을 이용한 형태로 쓸 수 있다(계수 행렬 A는 반드시 대칭일 필요는 없다). 체 K 위의 두 n-원 이차 형식

\phi, \psi

가 서로 동치라는 것은, 정칙 선형 변환

T \in GL_n(K)

에 대하여

:

\psi(x)=\varphi(Tx)

을 만족하는 것이 존재할 때를 말한다.

여기서는, K의 표수는 2가 아닌 것으로 가정한다(표수 2인 체 위의 이차 형식론은 그렇지 않은 체와 비교하여 중요한 차이가 있으며, 많은 정의와 정리를 다시 써야 한다). 이차 형식 q의 계수 행렬 A를 대칭행렬

(1/2)(A + {}^tA)

로 바꾸어도 q는 불변이므로, 처음부터 A는 대칭이라고 가정하고 생각해도 좋다. 더욱이 이때, 대칭 행렬 A는 대응하는 이차 형식에 의해 유일하게 정해진다. 동치 변환 T를 갖는 이차 형식

\phi, \psi

에 대하여,

\phi

에 수반하는 대칭 행렬 A와

\psi

에 수반하는 대칭 행렬 B 사이에는

:

B = {}^tTAT

라는 관계가 성립한다. 이차 형식 q에 수반하는 이중선형 형식(associated bilinear form)은

:

b_q(x,y) = \frac{1}{2} \bigl( q(x+y)-q(x)-q(y) \bigr) = {}^txAy = {}^tyAx

로 주어진다. 즉,

b_q

는 계수 행렬 A를 갖는 K 위의 대칭 이중선형 형식이다. 반대로, 임의의 대칭 이중선형 형식 b에 대하여 이차 형식 q가

:

q(x)=b(x,x)

로 놓는 것에 의해 정의된다. 이러한 조작은 서로 역의 관계에 있다. 이 결과로서, 표수 2가 아닌 체 위에서는, 대칭 이중선형 형식에 대한 이론과 이차 형식에 대한 이론은 본질적으로 같다고 볼 수 있다.

4. 1. 복소수 이차 형식의 분류

quadratically closed field|이차 폐체^영어

K

가 표수가 2가 아닌 모든 원소가 제곱근을 갖는 체라고 하자. (예를 들어,

K

가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간

K^n

위의 이차 형식은 그 계수

r

에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식

Q

은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

:

z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2\qquad(1\le r\le n)

이 경우, 이차 형식은 계수

r

에 의하여 완전히 분류된다.

4. 2. 실수 이차 형식의 분류

에우클레이데스 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 Kⁿ 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수에 따라 완전히 분류된다. 이를 실베스터의 관성 법칙이라고 한다.

n 변수의 K 계수 이차 형식 Q(x₁, ..., xₙ)은 n × n 대칭 행렬 M으로 나타낼 수 있다.

:

Q(x_1, \dots, x_n) = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix} M \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

Q의 부호수 (n₊, n₀, n₋)는 M의 양의 고윳값의 수 n₊, 고윳값 0의 중복도 n₀, 음의 고윳값의 수 n₋의 순서쌍이다. 이때, 다음이 성립한다.

:

n_+ + n_0 + n_- = n

n₊ 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. (n₊, n₀, n₋)는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다.

기본적인 문제는 선형 변환(선형 변수 변환)하에서 실수 이차 형식의 분류이다.

야코비는 모든 실수 이차 형식에 대해 직교 대각화가 존재함을 증명했다. 즉, 이차 형식을 다음과 같은 "대각 형태"로 만드는 직교 변환(직교 변수 변환)이 존재한다.

:

\lambda_1 \tilde x_1^2 + \lambda_2 \tilde x_2^2 + \cdots + \lambda_n \tilde x_n^2,

여기서 연관된 대칭 행렬은 대각 행렬이다. 게다가 계수

\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n

는 최대 순열까지 유일하게 결정된다.^[5]

만약 변수 변환이 반드시 직교적이지 않은 가역 행렬에 의해 주어진다면, 모든 계수

\lambda_i

가 0, 1 또는 −1이라고 가정할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙은 각 0, 1, −1의 개수가 이차 형식의 불변량임을 나타낸다. 즉, 다른 어떤 대각화도 각각 같은 개수를 포함할 것이다. 이차 형식의 부호는 세 숫자

(n_0, n_+, n_-)

이며, 여기서 이 성분들은 각각 0의 개수, 1의 개수, −1의 개수를 나타낸다.

모든

\lambda_i

가 같은 부호를 가질 때의 경우가 특히 중요하다. 이 경우 이차 형식을 정부호(모두 1) 또는 음부호(모두 −1)라고 한다. 어떤 항도 0이 아닌 경우, 그 형식을 비퇴화라고 한다. 여기에는 정부호, 음부호 및 등방 이차 형식(1과 −1의 혼합)이 포함된다. 지표

(p, q)

(p개의 1과 q개의 −1을 나타냄)를 갖는 비퇴화 부정 이차 형식을 갖는 실수 벡터 공간은 특히 시공간의 물리적 이론에서

\mathbb{R}^{p,q}

로 표기되는 경우가 많다.

이차 형식의 판별식 즉,

K / (K^\times)^2

에서 나타내는 행렬의 행렬식의 클래스(영이 아닌 제곱까지)도 정의할 수 있으며, 실수 이차 형식의 경우 부호보다 더 조잡한 불변량으로 "양수, 영, 음수"의 값만을 취한다. 0은 퇴화에 해당하며, 비퇴화 형식의 경우 음수 계수의 개수의 패리티,

(-1)^{n_-}

이다.

4. 3. 국소체 위의 이차 형식의 분류

K

가 표수가 2가 아닌 p진수체라고 하자. 그렇다면,

K

위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다.^[1]

4. 4. 대역체 위의 이차 형식의 분류

하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체

K

위의 두 이차 형식은

K

의 완비화인 모든 국소체 위에서 서로 동치일 때 동치이다.^[1]

4. 5. 홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체

\mathbb F_q

위의 벡터 공간

\mathbb F_q^n

위의 이차 형식의 동치류는 총

2n+1

개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식은 두 개이다.^[11]

a\in\mathbb F_q

가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 할 때,

\nexists b\in\mathbb F_q\colon b^2=a

와 같은 수는 항상 존재한다. 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

:

Q_1^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,1)

:

Q_2^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,a)

즉, 다음과 같은 꼴이다.

:

Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2

:

Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+ax_n^2

만약

n

이 홀수라면,

Q_2^{(n)}

는

\alpha Q_1^{(n)}

과 동치이다.^[11] 이 경우 비트 지표는

Q_1^{(n)}

,

Q_2^{(n)}

둘 다

(n-1)/2

이다.

만약

n

이 짝수라면,

Q_1^{(n)}

은

\alpha Q_1^{(n)}

과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.^[11]

$n\equiv2\pmod4$ 이며 $q\equiv3\pmod4$ 인 경우, $Q_1^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ 이며 $Q_2^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2$ 이다.
$n\equiv0\pmod4$ 이거나 또는 $q\equiv1\pmod4$ 인 경우, $Q_1^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2$ 이며 $Q_2^{(n)}$ 의 비트 지표는 $n/2-1$ 이다.

이 경우, 비트 지표가

n/2

인 경우를 '''플러스형'''(plus-type^영어),

n/2-1

인 경우를 '''마이너스형'''(minus-type^영어)이라고 한다.^[11]

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

:

\operatorname{diag}(1,\dots,1,1,0,\dots,0)

:

\operatorname{diag}(1,\dots,1,a,0,\dots,0)

홀수 차수 유한체

\mathbb F_q

의 비트 환의 크기는 4이며, 이는

q

에 따라 구체적으로 다음과 같다.^[13]

:

W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv3\pmod4$ 인 경우
$\mathbb Z/(4)$	0	1	2	3
$W(\mathbb F_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_1^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

$q\equiv1\pmod4$ 인 경우
$\mathbb F_2[x]/(x^2)$	0	1	x	1+x
$W(\mathbb F_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_2^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

4. 6. 짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2인 유한체

\mathbb F_q

위의 벡터 공간

\mathbb F_q^n

위의 이차 형식의 동치류는 총

\lceil(3n+1)/2\rceil

개이며, 이 가운데 비특이 이차 형식의 개수는

n

의 홀짝성에 따라 결정된다.^[11]

n

이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

:

\operatorname{diag}\left(1,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)

즉, 다음과 같은 꼴이다.

:

Q(x)=x_1^2+x_2x_3+x_4x_5+\cdots+x_{n-1}x_n

이 경우

Q

의 연관 대칭 쌍선형 형식은

:

B=\operatorname{diag}\left(0,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right)

이며,

\operatorname{rad}B=\operatorname{Span}_{\mathbb F_q}\{x_1\}

이다.

a\in\mathbb F_q

가

x^2+x+a=0

의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.)

n

이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.^[11]

:

\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)

:

\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

:

Q_+(x)=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{n-1}x_n

:

Q_-(x)=ax_1^2+x_2^2+x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{n-1}x_n

이 경우

Q_+

를 '''플러스형'''(plus-type^영어),

Q_-

를 '''마이너스형'''(minus-type^영어)이라고 한다.^[11]

Q_+

의 비트 지표는

n/2

이며,

Q_-

의 비트 지표는

n/2-1

이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

4. 7. 정수환 위의 이차 형식의 분류

정수환

\mathbb Z

위의 유한 차원 자유 가군 위의 이차 형식의 분류는 일반적으로 어렵다. 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않기 때문이다.^[22]

정수 계수 부정부호 형식은 마르틴 아이클러가 스피너 종수를 사용하여 완전히 분류하였다.^[22] 정수 계수 정부호 형식은 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저, 한스폴커 니마이어가 개발한 접착법을 사용하여 분류할 수 있다.^[22] 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.^[22]

5. 응용

이차 형식은 대수기하학, 모듈러 형식, 격자 이론 등 다양한 수학 분야와 밀접하게 연관되어 있다.

5. 1. 대수기하학

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이러한 관점에서, 3변수 이차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.^[1]

5. 2. 모듈러 형식

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식, 지겔 모듈러 형식, 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

5. 3. 격자 이론

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(geometry of numbers^영어)이나 코드 이론(coding theory^영어), 암호학 등에 응용된다. 정수환 위의 이차 형식을 '''정수 이차 형식'''이라고 하며, 이에 대응하는 모듈을 '''이차 격자'''(때로는 단순히 격자)라고 한다. 이들은 수론과 위상수학에서 중요한 역할을 한다.

정수 이차 형식은

x^2 + xy + y^2

과 같이 정수 계수를 갖는다. 즉, 특성 0을 갖는 체 (예:

\mathbb{Q}

또는

\mathbb{R}

) 위의 벡터 공간

V

의 격자

\Lambda

가 주어지면, 이차 형식

Q

가

\Lambda

에 대해 정수값을 갖는다면, 즉

x, y \in \Lambda

일 때

Q(x, y) \in \mathbb{Z}

이면 이차 형식

Q

는

\Lambda

에 대해 정수형이다.

이것이 현재 용어의 사용법이다. 과거에는 아래에 자세히 설명된 것처럼 다르게 사용되기도 했다.

6. 역사

이차 형식에 대한 연구는 수 세기 전으로 거슬러 올라간다. 페르마의 두 제곱수 정리는 정수가 $x^2 + y^2$ 형태로 표현될 수 있는지 여부를 결정하는데, 여기서 $x$, $y$는 정수이다. 이 문제는 기원전 2천년에 등장한 피타고라스 삼중수를 찾는 문제와 관련이 있다.^[3]

브라마굽타는 $x^2 - ny^2 = c$ 형태의 방정식에 대한 연구를 포함한 ''브라마스푸타싯단타''를 저술했다. 그는 현재 펠 방정식이라고 불리는 $x^2 - ny^2 = 1$을 고려하여 해법을 찾았다.^[4]

1801년 가우스는 정수 위의 이차 이변수 형식에 대한 완전한 이론을 다룬 ''산술연구''를 출판했다. 그 이후로 이 개념은 일반화되었고, 이차수체, 모듈러 군 및 수학의 다른 영역과의 연관성이 더욱 명확해졌다.

6. 1. 고대 수학에서의 이차 형식

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예로, 정수 계수 2변수 이차 형식

x^2+y^2

의 상을 계산하는 문제는 피타고라스 수와 관련되며, 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.^[3]^[8]

기원후 7세기, 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이는 특수한 2변수 이차 형식

x^2-ny^2

을 연구하는 문제이다. 628년, 브라마굽타는

x^2 - ny^2 = c

형태의 방정식에 대한 연구를 포함한 ''브라마스푸타싯단타''를 저술했으며, 현재 펠 방정식이라고 불리는

x^2 - ny^2 = 1

을 고려하여 해법을 찾았다.^[4]^[9] 유럽에서는 브렁커, 오일러, 라그랑주가 이 문제를 연구했다.

6. 2. 19세기 이차 형식 이론

카를 프리드리히 가우스는 1801년에 《산술 연구》(Disquisitiones Arithmeticae^영어)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다.^[14] 헨리 존 스티븐 스미스는 1867년에 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.^[15] 헤르만 민코프스키는 1885년에 박사 학위 논문^[16]에서 이차 형식의 종수(genus^영어)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

6. 3. 20세기~21세기 이차 형식 이론

헬무트 하세는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고,^[17] 이를 비롯한 세 편의 논문^[17]^[18]^[19]에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다.

에른스트 비트는 1937년 하빌리타치온 논문^[20]에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하여 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.^[21]

마르틴 아이클러(Martin Eichler^de)는 스피너 종수(spinor genus^영어)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,^[22] 마르틴 크네저(Martin Kneser^de), 한스폴커 니마이어(Hans-Volker Niemeier^de)는 접착법(gluing method^영어)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.^[22] 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

참조

_[1] 문서 A tradition going back to Gauss dictates the use of manifestly even coefficients for the products of distinct variables
_[2] 문서 Localization of a ring#Terminology
_[3] 웹사이트 Babylonian Pythagoras http://www-groups.dc[...]
_[4] 웹사이트 Brahmagupta biography http://www-groups.dc[...]
_[5] 서적 Introduction to Higher Algebra https://babel.hathit[...] HathiTrust 1907
_[6] 문서 If a non-strict inequality (with ≥ or ≤) holds then the quadratic form q is called semidefinite.
_[7] 웹인용 Linear Algebra and Geometry 1974
_[8] 웹사이트 404 http://www-groups.dc[...] 2024-05
_[9] 웹사이트 404 http://www-groups.dc[...] 2024-05
_[10] 서적 An introduction to the theory of groups Springer 1994
_[11] 서적 The finite simple groups Springer 2009
_[12] 서적 Quadratic mappings and Clifford algebras Birkhäuser 2008
_[13] 서적 Introduction to quadratic forms over fields http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2005
_[14] 저널 A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares http://www.maths.ed.[...] 1852
_[15] 저널 On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates 1867
_[16] 저널 Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält 1885
_[17] 저널 Über die analytische Theorie der quadratischen Formen 1935-07
_[18] 저널 Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II 1936-01
_[19] 저널 Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III 1937-01
_[20] 저널 Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern http://resolver.sub.[...] 1937
_[21] 서적 Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2009
_[22] 서적 Sphere packings, lattices and groups Springer 1999

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